Аппроксимация. Интерполирование. Экстраполяция.

Как известно, есть 3 способа задания функции:

1) аналитический

2) графический

3) табличный

Табличный способ обычно возникает в результате эксперимент. Недостаток табличного
задания функции заключается в том, что найдутся значения переменных, которые 
неопределенны таблицей. Тут нам и понадобится это загадочная аппроксимация. 

 Итак 

Аппроксимация, или приближение — научный метод, состоящий в замене одних объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным, но более простыми.

Вообще говоря, задача точного восстановления функции по ее табличным значениям 
некорректна. Если потребовать, чтобы эта функция совпадала с табличными значениям, можно подобрать множество таких функций. Поэтому перед вычислителем, решающим 
задачу восстановления функции, возникают проблемы, связанные с выбором класса 
аппроксимирующих функций, точности аппроксимации и критерия согласия между 
функцией и исходными данными.

 Обычно на практике используют классы самых простейших функций:

·        линейные комбинации функций 1,x,x^2,…,x^n, т.е. функции из класса полиномов степени не выше n (аппроксимация алгебраическим многочленом заданной 
степени);

·        линейные комбинации функций Sin(akx) и Cos(akx) (аппроксимация 
тригонометрическим многочленом, или отрезком ряда Фурье);

·        комбинации экспоненциальных функций Exp(Λkx) c вышеуказанными и 
некоторые другие.

В качестве критерия согласия используют три условия:

1. точное совпадение значений искомой функции с “экспериментом” - со значениями в узлах таблицы (критерий интерполяции);

2. сумма квадратов отклонений значений искомой и табличной функций минимальна 
(критерий среднеквадратической аппроксимации);

3. максимальное по абсолютной величине из отклонений значений искомой и 
табличной функций минимально (критерий равномерной аппроксимации).

Типичной задачей аппроксимации функций является задача интерполяции.

Простейшая  задача  интерполяции  заключается  в  следующем.  

На  отрезке [a, b]  заданы  n + 1  точки 

xi = х0, х1, . . ., хn,

которые называются узлами интерполяции, и значения некоторой функции f(x)  в этих 
точках 

f(x0) = y0,  f(x1) =  y1,  . . ., f(xn) = yn. (1) 

Требуется  построить  функцию  Φ(х) (интерполяционная  функция),  принадлежащую  
известному  классу  и принимающую в узлах интерполяции те же значения, что и f(x), т. е. 
такую, что 

Ф(x0) = y0, Ф(x1) =  y1,  . . ., Ф(xn) = yn.  (2) 

Геометрически это означает, что нужно найти кривую y = Φ(х) некоторого определенного типа, проходящую через заданную систему точек M(xi, yi) (i = 0, 1, ..., n) (Рисунок 1).

В такой общей постановке задача может иметь бесконечное множество решений или совсем не иметь решений.

Однако эта задача становится однозначной, если вместо произвольной функции

 Φ(х) искать полином ϕ(х) (интерполяционный полином) степени не выше n, 
удовлетворяющий условиям (2), т. е. такой, что 

ϕ (x0) = y0, ϕ (x1) =  y1,  . . ., ϕ (xn) = yn.  (3) 

Полученную интерполяционную формулу 

ϕ (x0)=anx^n+an-1x^(n-1)+...+a1x+a0

обычно используют для приближенного вычисления значений данной функции ƒ(х) для 

значений аргумента х, отличных от узлов интерполяции. Такая операция называется 
интерполяцией функций. 

Различают два вида интерполяции: 

1)  глобальная - соединение  всех точек ƒ(х) единым интерполяционным полиномом; 

2)  локальная - соединение точек  отрезками прямой (по двум точкам), отрезками 
параболы (по трем точкам).

Также есть особый тип приближения, при котором функция аппроксимируется вне 
заданного интервала. И название этому экстраполяция.

Всего доброго!

Продолжение следует...